En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.
Il peut être convexe ou non, voire croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont d'intersection non vide.
Lorsqu'un polygone n'est pas croisé, la somme de ses angles ne dépend que de son nombre de sommets.
Le bord d'un polygone est un cas particulier de ligne brisée.
La notion de polygone est généralisée en dimension supérieure par celles de polyèdre et de polytope.
Vocabulaire de base[modifier]Un polygone est constitué :
- d'une suite finie[1] de points du plan appelés sommets[2] ;
- des segments reliant les couples de sommets consécutifs ainsi que d'un
segment reliant le premier et le dernier point, tous ces segments étant appelés
côtés ;
- d'une partie ouverte et bornée du plan, appelée intérieur et dont la
frontière est contenue dans la
réunion des côtés.
Représentation d'un polygone ABCDEF.Un polygone est en général désigné par la juxtaposition des lettres désignant
les sommets, dans l'ordre de la suite.
L'
ordre d'un polygone est le nombre de ses sommets.
La désignation d'un polygone en toute généralité s'écrit donc
A1A2A3...
An,
constitué de
n sommets et de
n segments [
A1A2], [
A2A3]… [
An −
1An] et [
AnA1].
On dénomme alors
polygone la figure notée
« A
1A
2A
3...A
n », et
constituée par la suite des
n segments : [A
1A
2],
[A
2A
3], ... [A
n-1A
n]
et [A
nA
1].
À chaque sommet est associé un
angle, c'est l'angle entre les
deux côtés qui aboutissent au sommet.
Ordre d'un polygone[modifier]Le nombre
n des côtés d'un polygone est communément appelé
ordre de ce polygone. C'est évidemment aussi le nombre de ses
sommets ou celui de ses angles. Par exemple, un polygone d'ordre cinq détient
cinq sommets, cinq angles et cinq côtés.
Eléments opposés[modifier]
- Si l'ordre d'un polygone est pair :
- les sommets séparés par n/2 côtés sont dits « opposés » entre
eux ;
- même chose pour les angles correspondants ;
- les côtés séparés par n/2 sommets sont dits eux aussi « opposés »
entre eux.
- Si l'ordre du polygone est impair, les côtés sont « opposés » aux sommets et aux
angles ( et vice versa ) ; plus précisément, chaque sommet ( ou chaque
angle ) est « opposé » au côté situé (n - 1)/2 sommets plus
loin.
Côtés
prolongés et diagonales[modifier]Les droites qui portent les côtés d'un polygone sont appelées les
côtés
prolongés de ce polygone.
Les côtés d'un polygone ne sont pas les seuls segments qui peuvent relier les
sommets entre eux. Tout segment reliant deux sommets d'un polygone et autre
qu'un côté est appelé
diagonale de ce polygone.
Un polygone à
n côtés possède ainsi
diagonales.
Typologie des polygones[modifier]Il existe de nombreuses manières de classer les polygones : en fonction de
leur
convexité, de leurs
symétries, de leurs
angles... Mais
on les classe d'abord suivant leur nombre de côtés.
Classement
suivant le nombre de côtés[modifier]Les polygones peuvent être classés entre eux suivant leur nombre de côtés,
c'est-à-dire leur ordre.
Le polygone le plus élémentaire est le triangle : un polygone possède au
moins trois sommets et trois côtés.
Vient ensuite le quadrilatère, à quatre côtés et quatre sommets.
À partir de l'ordre cinq, chaque nom de polygone est formé d'une racine
grecque correspondant à l'ordre du polygone suivie du suffixe
-gone.
Pour s'y retrouver dans la dénomination des polygones, il faut retenir que
-kai- signifie « et » en grec, et que
-conta- signifie
« dizaine ». Par exemple, le mot
triacontakaiheptagone signifie trois
(
tria-) dizaines (
-conta-) et (
-kai-) sept (
-hepta-)
unités, et correspond donc à un polygone de trente-sept côtés, "et" étant
interprété ici comme "plus".
Au-delà de douze côtés, la coutume incite à parler de
polygone à n
côtés où
n est remplacé par le nombre souhaité, ceci afin de
simplifier les choses.
Il existe cependant plusieurs dénominations anciennes pour des nombres
« ronds » comme pour un polygone à vingt côtés (icosa-), à cent côtés (hecto-)
et à dix mille côtés (myria-).
Dénominations des polygonesNombre de côtésNom
1 côté dégénéré
| hénagone ou monogone (objet impossible en géométrie euclidienne[3]) |
2 côtés dégénérés | digone |
3 côtés | triangle ou trigone |
4 côtés | quadrilatère ou tétragone |
5 côtés | pentagone |
6 côtés | hexagone |
7 côtés | heptagone |
8 côtés | octogone |
9 côtés | ennéagone ou nonagone |
10 côtés | décagone |
11 côtés | hendécagone |
12 côtés | dodécagone |
13 côtés | tridécagone ou triskaidécagone |
14 côtés | tétradécagone ou tétrakaidécagone ou quadridécagone |
15 côtés | pentadécagone ou pentakaidécagone ou quidécagone |
16 côtés | hexadécagone ou hexakaidécagone |
17 côtés | heptadécagone ou heptakaidécagone |
18 côtés | octadécagone ou octakaidécagone |
19 côtés | ennéadécagone ou ennéakaidécagone |
20 côtés | icosagone |
21 côtés | henicosagone ou icosikaihenagone |
22 côtés | doicosagone ou icosikaidigone |
23 côtés | triaicosagone ou icosikaitrigone |
24 côtés | tétraicosagone ou icosikaitétragone |
25 côtés | pentaicosagone ou icosikaipentagone |
26 côtés | hexaicosagone ou icosikaihexagone |
27 côtés | heptaicosagone ou icosikaiheptagone |
28 côtés | octaicosagone ou icosikaioctagone |
29 côtés | ennéaicosagone ou icosikaiennéagone |
30 côtés | triacontagone |
31 côtés | hentriacontagone ou triacontakaihenagone |
32 côtés | dotriacontagone ou triacontakaidigone |
33 côtés | tritriacontagone ou triacontakaitrigone |
34 côtés | tétratriacontagone ou triacontakaitétragone |
35 côtés | pentatriacontagone ou triacontakaipentagone |
36 côtés | hexatriacontagone ou triacontakaihexagone |
37 côtés | heptatriacontagone ou triacontakaiheptagone |
38 côtés | octatriacontagone ou triacontakaioctogone |
39 côtés | ennéatriacontagone ou triacontakaiennégone |
40 côtés | tétracontagone |
50 côtés | pentacontagone |
60 côtés | hexacontagone |
70 côtés | heptacontagone |
80 côtés | octacontagone |
90 côtés | ennéacontagone |
100 côtés | hectogone ou hécatontagone |
200 côtés | dihectogone |
300 côtés | trihectogone |
400 côtés | tétrahectogone |
500 côtés | pentahectogone |
600 côtés | hexahectogone |
700 côtés | heptahectogone |
800 côtés | octahectogone |
900 côtés | ennéahectogone |
1 000 côtés | chiliogone ou chiliagone ou chiligone[4] |
10 000 côtés | myriagone ou myriogone[4] |
Les mêmes principes s'appliquent aux polyèdres, où il suffit de remplacer le suffixe
-gone par le suffixe
-èdre