Chapitre II
QUELQUES EXEMPLES DE MÉTROLOGIES UTILISÉES
EN ÉCOULEMENTS MONOPHASIQUES
ET DIPHASIQUES GAZ-LIQUIDE

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Plan

1. INTRODUCTION
2. TECHNIQUES DE MESURES EXPÉRIMENTALES
2.1. Mesure du débit
2.1.1. Capacité jaugée
2.1.2. Systèmes déprimogènes
2.1.3. Rotamètres
2.1.4. Débitmètre électromagnétique
2.1.5. Systèmes rotatifs
2.1.6. Débitmètre ultrasonique
2.1.7. Débitmètre massique thermique
2.1.8. Débitmètre à palette
2.2. Mesure de la pression
2.2.1. Définitions
2.2.2. Mesure de la pression
2.2.2.1. Manomètres hydrostatiques
2.2.2.2. Capteurs de pression
2.3. Anémométrie Laser à effet Doppler (LDA)
2.4. Vélocimétrie par Image de Particules (PIV)
2.5. Films (Fils) chauds
2.6. Anémomètre ionique
2.7. Tube de pitot
2.8. Conductimétrie
2.9. Électrochimie (Polarographie)
2.10. Visualisation par caméra (ou caméra Rapide)
2.11. Sondes optiques
3. TRAITEMENT NUMÉRIQUE DU SIGNAL
3.1. Description statistique des variables aléatoires
3.2. Traitement des signaux en écoulement diphasique
3.2.1. Signaux de film chaud
3.2.2. Signaux de bisonde optique

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1. INTRODUCTION


Dans les installations industrielles de distribution de fluides ou de production, les processus de contrôle nécessitent des informations globales permettant de connaître leurs évolutions ; à savoir le débit, la pression et la température.

En mécanique des fluides, une modélisation appropriée nécessite une connaissance plus fine des écoulements. Dans les laboratoires de recherche par exemple, les veines d'essais destinées pour l'étude des écoulements sont généralement équipées d'une métrologie spécifique permettant de mesurer localement les différentes grandeurs dynamiques de l'écoulement. Dans le cas d'un mélange diphasique gaz liquide par exemple, certaines méthodes de mesure en écoulement monophasique (écoulement à une seule phase) restent valable aussi dans une configuration à 2 phases. Dans ce qui suit, nous donnons une description détaillée des principales techniques employées. Certaines de ces techniques sont actuellement utilisées dans notre laboratoire (GEPEA) pour étudier les écoulements monophasiques et diphasiques gaz liquide en conduites. Le schéma ci-dessous décrit l'utilité des expérimentations, qui nécessitent certaines techniques de mesures bien élarorées pour l'obtention des informations nécéssaires en vue de valider un code de calcul par exemple ou de chercher un certains nombre de paramètres dans le but de fermer les équations d'un problème lors de la modélisation.







2. TECHNIQUES DE MESURES EXPÉRIMENTALES

2.1. Mesure du débit :



2.1.1. Capacité jaugée :
La mesure du débit de liquide par une capacité jaugée constitue la méthode la plus simple et dans certaines configurations la moins précise. Cette méthode est généralement utilisée pour le contrôle et la calibration d'autres débitmètres. Le principe de la mesure consiste à dériver pendant un temps la totalité de l'écoulement dans une capacité de volume connue ou pesé avant et après le remplissage. Ce circuit de dérivation ne doit pas modifier les conditions de l'écoulement à savoir la pression à la sortie.

Fig. 1 : Exemple de système de mesure par capacité jaugée




2.1.2. Systèmes déprimogènes :
Dans ces systèmes, on applique le théorème de Bernoulli entre deux sections de la conduite. En effet, on pratique localement dans cette conduite une réduction de la section de passage de l'écoulement; ce qui provoque une perte de charge singulière. Ainsi, un resserrement de la conduire ou un changement de direction créent entre amont et aval une différence de pression DP liée au débit par une relation de la forme :

où K est un coefficient qui s'obtient par étalonnage et la masse volumique du fluide.


Cette équation est vérifiée dans une certaine gamme du nombre de Reynolds.

Cette équation est vérifiée dans une certaine gamme du nombre de Reynolds.

La figure 2 ci-dessous donne les principaux organes déprimogènes utilisés en débitmétrie. En effet, le diaphragme est l'organe déprimogène le plus utilisé.
Fig. 2 : Exemple de systèmes déprimogènes


Caractéristiques métrologiques :

Ces dispositifs permettent des mesures dans une très large gamme de débit ; d'une fraction de m³/h à quelques 105 m³/h. Les mesures sont approximativement de classe 1. Ces dispositifs entraînent des pertes de charges non négligeables.



2.1.3. Rotamètres :
C'est un système déprimogène à flotteur monté verticalement. Sa section est continûment variable et l'équilibre est atteint pour un débit donné lorsque le poids apparent du flotteur équilibre les forces tangentielles de frottement et de pression. En général, ce type de débitmètre n'est pas normalisé et doit être étalonné avant utilisation.


Généralement, les courbes d'étalonnage pour l'eau et l'air sont fournies par le fabricant. Il est possible d'adapter un tube de rotamètre existant à un certain domaine de mesures sous certaines conditions.

La figure ci-dessous représente un rotamètre menu de son petit flotteur placé dans un conduit vertical conique :
Fig. 3 : A gauche, le schéma d'un rotamètre ; à droite, une photo en illustration
Quand le flotteur est en équilibre on peut écrire :


Avec :
: la masse volumique du liquide (kg/m³),
: l'accélération de la pesanteur (en m/s²),
: le volume du flotteur (en m³),
: le coefficient de traînée du flotteur selon l'axe (sans unités),
: le maître couple du flotteur c.à.d. sa surface projetée sur le plan (en m²),
: la vitesse débitante du fluide (en m/s),
: la masse du flotteur (en kg).
Le flotteur se place en une position où la vitesse vérifie :


Le diamètre de le conduite variant linéairement en fonction de z. D'où :


Le débit volumique vérifie la relation :
Si et , on a alors :


Caractéristiques métrologiques


La gamme de mesure va :

• de 0,5 litre/h à 200 000 litres/h pour les gaz ;
  
• de 0,2 litre/h à 20 000 litres/h pour les liquides.
  

La précision est de 3 à 10% de l'étendue de la mesure. La température du fluide peut approcher 400°C sous 25 bars. Le rotamètre introduit une perte de charge.




2.1.4. Débitmètre électromagnétique
Le principe de fonctionnement de cet appareil est fondé sur la loi d'induction de Faraday. Le liquide qui traverse le débitmètre constitue un élément conducteur qui génère une tension induite par le champ magnétique créé par les bobines d'induction de cet appareil électromagnétique. Cette tension est linéairement proportionnelle à la vitesse de passage du liquide :


où : : le facteur de proportionnalité du capteur,
: l'intensité du champ magnétique,
: le diamètre du tube,
: la vitesse débitante de l'écoulement dans le tube.


La tension ainsi générée est recueillie par les deux électrodes du débitmètre qui la transmettent à un convertisseur approprié. L'intensité du champ magnétique et la distance entre les électrodes étant constantes, la tension induite est donc fonction de la vitesse du liquide seulement et indépendante des variations de température (viscosité), de pression ou de conductivité. Si on considère un conducteur se déplaçant dans un champ magnétique uniforme , on peut alors relier linéairement la tension à la vitesse débitante .

Fig. 4 : Principe de fonctionnement du débitmètre électromagnétique


Fig. 5 : Schéma électrique du capteur du débitmètre électromagnétique


L'induction magnétique, de l'ordre de 10^-3 à 10^-2 T, est produite par deux bobines placées de part et d'autre de la conduite de mesure. La conduite est en matériaux amagnétique et est revêtue sur sa surface intérieure d'une couche isolante. Deux électrodes de mesure sont placées aux extrémités du diamètre perpendiculaire au champs B. Les bobines sont alimentées par une tension alternative (30 Hz par exemple), afin d'éviter une polarisation des électrodes. Le débitmètre est conçu pour mesurer le débit volumique d'un fluide conducteur chargé, dans une conduite. Les signaux d'entrée et de sortie de l'amplificateur sont galvaniquement séparés, pour empêcher l'influence des tensions parasites. Le courant délivré par le débitmètre est proportionnel au débit. Ce débit volumique (en litre par minute) peut être donné par la relation suivante :


avec : : échelle affichée par le débitmètre représentant la gamme de travail,
: courant délivré par le capteur du débitmètre (en mA),
: constante caractérisant le débitmètre (donnée par le constructeur).

Fig. 6 : Exemples de débitmètres électromagnétiques


Caractéristiques métrologiques

Les liquides doivent avoir une conductivité minimale de l'ordre de quelques s.cm^-1, pour que la résistance interne du générateur soit inférieure à la résistance d'entrée de l'appareillage électronique. À titre d'exemples, on peut citer les liquides conducteurs suivants :

• acides, bases, pâtes, bouillies, pulpes ;
  
• eau potable, eaux usées, boue de clarification ;
  
• lait, bière, vin, eau minérale, yaourt, melasse.
  

Étendue de la mesure


Elle est fonction du diamètre de la conduite, la vitesse d'écoulement pouvant varier de 1 à 10 m/s.

Précision: Classe 1 Constante de temps: De l'ordre de 1 s.





2.1.5. Systèmes rotatifs
Le débit peut être mesuré par un système rotatif. Cette technique est utilisée dans la plupart des compteurs industriels. Le volume total qui transite dans ce système est directement proportionnel au nombre de tours effectué par le rotor de la turbine. Si l'étanchéité entre l'hélice et le tube est correcte et la mécanique est de qualité, alors la vitesse de rotation de la turbine donne directement le débit sans avoir recours à un étalonnage préalable. En effet, une turbine à pales profilées, placée axialement dans un écoulement, tourne à une fréquence liée à la vitesse de l'écoulement. En général, cette correspondance est obtenue par un étalonnage. La fréquence ainsi obtenue est recueillie par un capteur, puis envoyée vers un préamplificateur qui transforme les impulsions en tension (ou en courant). La tension U ainsi recueillie, varie linéairement avec le débit volumique :


où K et b sont des constantes déterminées par un étalonnage approprié.


Pour que les mesures soient fiables, il convient de placer ce système rotatif après un tronçon droit ayant une longueur suffisante pour que l'écoulement soit effectivement établi à l'entrée de la turbine.
Fig. 7 : Exemples de débitmètres à système rotatif (ou à turbine). Celui de droite est destiné à la
mesure de la vitesse et du débit sur des grilles et sur des bouches de ventilation




2.1.6. Débitmètre ultrasonique
Un émetteur ultrasonique émet des trains d'ondes, la mesure du temps mis par le signal pour parcourir la distance D nous permet de connaître la vitesse du fluide.

Fig. 8 : Principe de fonctionnement du débitmètre ultrasonique
Le temps mis par l'onde ultrasonore pour aller de l'émetteur vers le récepteur est :



avec :

• : vitesse de propagation du son dans le fluide ;
  
• : vitesse débitante du fluide ;
  
• : angle entre et la direction définie par le couple émetteur / récepteur.
  
  

Caractéristiques métrologiques

L'intérêt de ce dispositif est qu'il est intrusif ; l'ensemble du dispositif est à l'extérieur de la canalisation, il est donc insensible à l'agressivité du fluide, et n'entraîne aucune perte de charge. Il permet des mesures de débit compris entre 0,1 m³/h et 10⁵ m³/h, selon le diamètre de la conduite qui peut être compris entre quelques millimètres et plusieurs mètres. Ce débitmètre est utilisé par exemple pour mesurer le débits des hydrocarbures. Il existe des systèmes semblables utilisant l'effet Doppler à partir d'une source lumineuse (laser) dans les gaz.





2.1.7. Débitmètre massique thermique
Deux capteurs de température sont placés aux points A et B, de part et d'autre d'un élément chauffant. La différence de température, est proportionnelle au débit massique. On place aux points A et B deux capteurs de température. Le capteur fonctionne correctement dans un intervalle de débit bien déterminé. Si le débit réel dépasse le débit maximal, on peut utiliser un circuit dérivateur, prenant en charge une partie du débit.

Fig. 9 : Principe de fonctionnement du débitmètre massique thermique


Ce débitmètre permet la mesure du débit massique de l'air, de l'azote ou de tout autre gaz indépendamment de la pression et de la température. Le principe de fonctionnement du débitmètre thermique est basé sur le transfert de calories entre le gaz et un élément chauffé sur la paroi interne à une température modérée. Le gradient de température entre les deux thermocouples dans le tube chauffé, dépend uniquement du débit massique et de la chaleur massique du gaz. La tension de sortie est alors une fonction linéaire du débit massique. Ce débitmètre est généralement étalonné par le constructeur pour l'air et dans les conditions standards. La précision des mesures de débits de gaz est de ± 1% sur la pleine échelle. La régulation du débit massique peut être effectuée par une servo-vanne pneumatique de précision commandée par une servo-vanne électromagnétique. Cette dernière dérive une petite partie du gaz au dessus de la membrane de la servo-vanne pneumatique pour commander son ouverture.

Caractéristiques métrologiques

• Précision :classe 0,5 à 1,5
  
• Constante de temps : de l'ordre de 2,5 s à 150 s
  
• Perte de charge : de l'ordre de 2 Pa
  

2.1.8. Débitmètre à palette
Une palette est soumise à la force aèro ou hydrodynamique de l'écoulement, à son poids, et éventuellement à l'action d'un ressort de rappel. La position d'équilibre est mesurée à l'aide d'un montage potentiomètrique. L'intérêt de ce type de débitmètre est sa simplicité. Il entraîne des pertes de charges.

Fig. 10 : à gauche le schéma d'un débitmètre à palette ; à droite une photo en illustration




2.2. Mesure de la pression



2.2.1. Définitions
La pression est une grandeur dérivée du système international. Elle est définie comme le quotient d’une force par une surface. Cette pression s’exerce toujours perpendiculairement à la surface considérée. Son expression est la suivante :


La pression atmosphérique La pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer, à 15 °C, est de 1013 mbar. Elle peut varier, de ± 25 mbar, avec la pluie ou le beau temps. Elle est fonction de l’altitude (hydrostatique).



La pression relative C’est la différence de pression par rapport à la pression atmosphérique. C’est la plus souvent utilisée, car la plupart des capteurs, soumis à la pression atmosphérique, mesurent en relatif. Pour mesurer en absolu, il leur faut un vide poussé dans une chambre dite de référence.
Exemple : La pression de gonflage d’un pneu de voiture.


La pression absolue

C’est la pression réelle, dont on tient compte dans les calculs sur les gaz.

Le vide

Il correspond théoriquement à une pression absolue nulle. Il ne peut être atteint, ni dépassé. Quand on s’en approche, on parle alors de vide poussé.



2.2.2. Mesure de la pression
Il existe plusieurs méthodes pour mesurer la pression. Ci-dessous, nous décrivons les principales techniques de mesure utilisées (sans dresser une liste exhaustive) :





2.2.2.1. Manomètres hydrostatiques
La mesure de la pression peut se faire par des manomètres hydrostatiques. La sensibilité de ces derniers dépend essentiellement de la masse volumique du liquide utilisé dans ces appareils. La figure 11 de gauche ci-dessous montre le cas d'un manomètre à tube en U placé verticalement où la sensibilité S s'exprime par la relation :
où
La photo de la figure 11 (à droite) illustre un manomètre à tube incliné. Dans ce cas, la sensibilité dépend aussi de l'angle d'inclinaison . Son expression est donnée par :



Fig. 11 : Manomètres hydrostatiques : à gauche tube en U ; à droite tube incliné





2.2.2.2. Capteurs de pression
La pression peut être mesurée à l'aide de capteurs de pression différentielle. Le principe de fonctionnement de ce capteur est basé sur la différence de pression appliquée de part et d'autre d'une membrane. Ce gradient de pression induit une déformation de la membrane qui est proportionnelle à une tension donnée par le capteur. Généralement, cette tension est comprise entre 0 et 10 volts. Les membranes sont interchangeables, et chacune est destinée à une gamme de pression bien précise. La différence de pression mesurée est alors exprimée en fonction de la tension délivrée par :
où est la masse volumique du liquide, l'accélération de la pesanteur, une constante déterminée par étalonnage et la tension en volts.

Figure 12 : Exemples de capteurs de pression
La figure 13 ci-dessous donne un exemple d'étalonnage d'un capteur de pression de type Valydine DP 45 (gamme de pression de 0 à 22,5 cm d'eau). La constante représente la pente de droite obtenue. La précision sur les mesures de pression différentielle est ±0,5%.

Figure 12 : Exemple de courbe d'étalonnage d'un capteur de pression (Aloui, 1994)




2.3. Anémométrie Laser à effet Doppler (LDA)

La vélocimétrie laser à effet Doppler est l'une des techniques les plus modernes destinées aux mesures de la vitesse moyenne et ses fluctuations dans un écoulement de suspension de particules liquide. Les premiers essais expérimentaux avec cette procédure ont été effectués par Cummins et Yeh en 1964. Cette technique décrite de façon détaillée par Whitelaw & Durst en 1976, se révèle bien adaptée à l'étude d'une zone de recirculation dans la mesure où elle permet, sans perturber l'écoulement, d'obtenir le sens, le taux de fluctuation et le module d'une composante de la vitesse. Le principe de mesure repose sur l'effet Doppler, qui traduit la différence qui existe entre la fréquence d'un signal émis par une particule de fluide en mouvement, et celle recueillie par un photomultiplicateur fixe. Deux rayons laser issus de la même source, sont focalisés par une lentille en un point de l'écoulement à étudier. Si (de longueur d'onde ) est la fréquence des deux faisceaux de vecteurs unitaires et issus de la même source, alors l'onde émise par la particule de fluide passant par ces derniers et de vecteur résulte de l'interface des deux ondes lumineuses de fréquences :

où est la vitesse de la particule de fluide en mouvement.
Ces deux ondes sont représentées par et , et l'intensité de la lumière ré-émise par la particule est égale à :

Le photomultiplicateur qui recueille le réseau de franges formé par l'intersection des deux rayons laser, n'est sensible qu'aux hautes fréquences , et leur somme . D'où, l'intensité de lumière captée sera:
car .
La fréquence de battement des ondes diffusées par la particule en déplacement dans le volume de croisement des deux faisceaux laser, notée , est appelée "fréquence Doppler". Cette dernière est proportionnelle à la vitesse de la particule et indépendante de la direction de diffusion de la lumière :



Fig. 13 : Principe de l'anémomètrie laser à effet Doppler (L.D.A)


Connaissant l'angle q ue forment les deux rayons incidents, la composante moyenne de vitesse de la particule dans un plan perpendiculaire à la bissectrice de cet angle est donnée par :
La valeur moyenne de la composante longitudinale de vitesse est donnée directement par un suiveur de fréquence (en mètres par seconde).


La chaîne anémométrique de mesure doit être formée d'un ensemble qui comprend :

• un laser He-Ne de longueur d'onde (en µm) et de puissance 10 mW à 5W,
  
• une cellule de Bragg excitée à 40Mhz,
  
• un dispositif séparateur de faisceau donnant deux faisceaux écartés,
  
• une lentille de focalisation,
  
• un suiveur de fréquence donnant la vitesse et disposant d'une sortie analogique,
  
• un photomultiplicateur.
  

2.4. Vélocimétrie par Image de Particules (PIV)
La vélocimétrie par image de particule est basée sur la mesure du déplacement de petites particules (10 µm) réfléchissantes présentes dans l’écoulement étudié, dont la masse volumique est voisine de celle du liquide utilisé. Cette technique expérimentale non-intrusive, permet l'obtention simultanée de deux composantes de vitesse dans le plan illuminé. L’écoulement est illuminé par une nappe laser issue d’un laser YAG pulsé à 10Hz. A chaque pulsation, sont émises deux impulsions décalées d’un court intervalle de temps (de 1 à 1000 µs). Une caméra CCD synchronisée au laser enregistre à chaque pulsation la paire d’images. On génère un maillage dans chacune des images obtenues. A chaque maille de chaque image est attribuée une fonction , où k et l sont les coordonnées des pixels suivant les axes X et Y. Cette fonction représente le niveau de gris au point de coordonnées k,l. Soient f(k,l) et g(k,l), les deux fonctions associées à la même aire d’interrogation (N x N) de deux images successives, la corrélation croisée discrète est obtenue par la relation suivante :



où u et v sont des déplacements en pixels. Le calcul de cette fonction s’effectue par transformée de Fourrier rapide (FFT). La maximisation de cette fonction permet de trouver U et V, qui sont respectivement les déplacements les plus probables des particules présentes dans la maille de calcul suivant les axes X et Y.


La vitesse au centre de chaque maille est ensuite déduite de ce déplacement en le divisant par le pas de temps séparant deux images. Dans le cas d'un écoulement diphasique à bulles par exemple, les contours des bulles (constitués par les interfaces gaz/liquide) seront très clairs dans la photographie instantanée. Cette dernière est transformée par la suite en une image noir et blanc (en niveau de gris). La différence de contraste entre ces interfaces et le reste de la photographie est due principalement à la différence d'indices de réfraction entre le liquide et le gaz. La zone d'interrogation dans laquelle sera déterminé le champ de vitesse doit être relativement importante par rapport à la taille moyenne des bulles dans l'écoulement.



Fig. 14 : Principe du système PIV

Fig. 15 : Corrélation des paires d'images pour l'obtention du champ de vitesse


Fig. 16 : Exemple de champ de vitesse instantané obtenu par PIV




2.5. Films (Fils) chauds

L'anémomètrie à film (ou fil) chaud a été mise en œuvre par King depuis 1914. Cette technique, utilisée soit à courant constant soit à température constante, repose sur le transfert de chaleur autour d'un film (ou fil) chauffé par un circuit électrique.
Fig. 17 : Schéma d'un film chaud conique
En effet, on place dans un écoulement un fil ou un film porté par effet Joule à une température supérieure à la température de cet écoulement. Il se produit alors un échange de chaleur par convection. La température d'équilibre du fil ou du film est déterminée par la mesure de sa résistance, elle est fonction de la puissance Joule dissipée et de la vitesse du fluide. On distingue alors les montages suivants :



* Montage à intensité constante
Fig. 18 : Montage électrique à courant constant


La résistance est alimentée par un courant constant. La tension U_m est proportionnelle à R. La température du fil n'étant pas constante, ce type de mesure s'applique surtout aux variations de vitesse de fluide lente.

* Montage à température constante La température, et donc la résistance, sont maintenues constantes à l'aide d'un amplificateur opérationnel. La tension est liée au débit du fluide. L'inertie thermique intervenant très peu dans ce montage (car la température du fil est constante), donc le temps de réponse du système est lié au temps de réponse de l'électronique. Pour mesurer la vitesse, le film (fil) chaud est maintenu à température constante grâce à un pont de Wheastone et un amplificateur différentiel de tension (fig.18). Dans l'écoulement, on cherche à maintenir le film à une température tf légèrement supérieure à la température du fluide t0. L'asservissement électronique (chaîne anémométrique) détermine instantanément le courant nécessaire à l'alimentation du pont pour qu'il soit en équilibre.

Fig. 19 : Montage électrique à température constante

Fig. 20 : Principe de mesure de la vitesse de l'écoulement par un film chaud


Ce courant est transformé à la sortie du pont en tension. Ainsi, la puissance dissipée par effet Joule par la résistance Rs dans l'écoulement est la même que la quantité de chaleur arrachée par unité de temps par le fluide environnant. Le flux de chaleur instantané dépend du nombre de Nusselt, qui lui même dépend du nombre de Reynolds. Comme le nombre de Reynolds est fonction de la vitesse de l'écoulement, alors la variation de cette dernière entraîne la variation de la tension de sortie du pont. A l'aide de cette méthode qui est très connue, nous disposons alors d'un signal de tension lié au signal de la vitesse de l'écoulement à l'emplacement du film. La réponse en fréquence de l'anémomètrie à film chaud est très rapide. Cette technique peut donc être appliquée à l'étude des écoulements monophasiques et diphasiques (mêmes turbulents). Il est à noter que la stabilisation de la température du fluide en écoulement joue un rôle primordial. En effet, une faible variation de cette température entraîne une variation significative de la tension surtout à grand nombre de Reynolds. Le signal de tension ainsi recueilli peut être facilement linéarisé en utilisant un algorithme informatique par exemple pour le transformer en un signal de vitesse (figure 21).
Fig. 21 : Exemple de courbe d'étalonnage du film chaud (t0 = 20°C)


2.6. Anémomètre ionique

Trois fils sont placés perpendiculairement au déplacement du fluide. Le fil central est placé à un potentiel élevé, les deux autres sont reliés à la masse. Le champ électrique crée une ionisation du fluide, et deux courants électriques I₁ et I₂ dérivent du fil central vers chacun des autres fils. Si la vitesse du fluide est nulle, les courants I₁ et I₂ sont identiques. Si le fluide est en mouvement à la vitesse V, le système devient asymétrique. La différence des intensités I₂-I₁ est proportionnelle à V, alors que la somme I₁+I₂ est sensiblement constante.
Fig. 22 : Principe de fonctionnement de l'anémomètre ionique


* Domaine d'utilisation

Ce type d'anémomètre est bien adapté aux vitesses faibles (0 - 10 m/s). U est de l'ordre de 6000 V, les courants sont voisins de 1,5 A. Il permet la mesure du sens de l'écoulement, contrairement au fil chaud.

* Montage de mesure
Fig. 23 : Schéma électrique de l'anémomètre ionique


2.7. Tube de pitot La mesure de la vitesse par un tube de Pitot est basée sur le théorème de Bernoulli. Une prise de pression est située au point d'arrêt A du tube placé face à l'écoulement. Cette dernière donne la pression dynamique (ou la pression totale). La pression statique est donnée par la prise B. La mesure des pressions statique et totale permet de connaître la vitesse locale du fluide. L'écart entre ces 2 pressions permet de donner la relation suivante :


Cette technique de mesure est facile à mettre en œuvre, mais elle ne donne qu'une mesure moyenne à cause de l'inertie dans la ligne de transmission des pressions. Le sens ainsi que la direction de l'écoulement doivent être connus à priori.
Fig. 24 : Principe de fonctionnement d'un tube de Pitot


2.8. Conductimétrie La conductimétrie est une technique expérimentale basée sur la mesure de la conductance (G), grandeur inverse de la résistance (R). La grandeur G est caractéristique des ions qui composent le milieu. Cette méthode peut être utilisée pour mesurer l'épaisseur d'un film liquide (conducteur) sur une surface non conductrice, par exemple. L'appareil de mesure qui est un conductimètre à fréquence variable, qui alimente deux électrodes (sondes) par une tension alternative à moyenne nulle pour éviter leurs polarisation. La mesure du courant électrique passant entre les électrodes permet de caractériser l'impédance du film liquide. Deux sortes de sondes peuvent être employées : les sondes à résistance (ou à fils) et les sondes affleurantes (ou pariétales).


En écoulements diphasiques gaz-liquide, les sondes pariétales sont utilisées dans le cas d'écoulements annulaires pour la mesure de l'épaisseur du film liquide à la paroi (épaisseur du film inférieure à 2 mm). Quant aux sondes à fils, elles sont bien adaptées aux écoulements stratifiés. La chaîne conductimétrique fournit une tension alternative E(t) en crénaux qui permet un meilleur filtrage. La fréquence est choisie assez grande (50 kHz) pour éliminer les effets capacitifs de la double couche de particules électriques de charges oppposées et enrobant l'électrode. Sa résistance interne r₀ est ajustée pour obtenir une tension proportionnelle à la conductance G du liquide (). Soit :



Fig. 25 : Sondes conductimétriques à fils et affleurantes, et chaîne de mesures conductimétriques











Après étalonnage, on obtient les lois suivantes pour les deux types de sondes conductimétriques en utilisant l'eau de ville comme solution conductrice : pour les sondes à fils
pour les sondes affleurantes
, et sont des constantes qui s'obtiennent expérimentalement après étalonnage. est la tension obtenue quand la section de la conduite (fig. 25) est totalement remplie de liquide, et la tension donnée par le conductimètre pour la hauteur du film liquide (h peut être exprimée directement en mm).



2.9. Electrochimie (Polarographie)

La technique électrochimique (ou technique polarographique) permet de mesurer la contrainte de cisaillement tangentiel (frottement) entre un liquide constitué d'une solution acqueuse (conductrice) et une paroi solide inerte. Cette technique représente un moyen d'étude des grandeurs cinématiques de l'écoulement, grâce à la mesure du courant résultant du transfert controlé par la seule diffusion convective des ions actifs au sein de la solution en mouvement vers les électrodes. La solution aqueuse utilisée est une solution de ferri-ferro cyanure en présence d'un large excès de chlorure de potassium choisi comme électrolyte indifférent. L'équation de la réaction de réduction à la cathode (la réaction inverse d'oxydation s'effectuant à l'anode) est la suivante :

[Fe(CN)6]3- + e- <===> [Fe(CN)6]4-

où :

• [Fe(CN)6]3- Ferri - Cyanure
  

• [Fe(CN)6]4- Ferro - Cyanure
  

• [K2SO4]- Électrolyte chimiquement inerte en excès : Sulfate de potassium
  
  
  
  Fig. 26 : Principe de la méthode polarographique, et convertisseur courant-tension pour une sonde polarographique double
  

Pour chaque débit de liquide, on fait varier la tension de polarisation U appliquée à l'anode et on mesure le courant I à la cathode. On obtient ainsi plusieurs polarogrammes I=f(U) présentant chacun un palier dit "palier de diffusion". Ce dernier correspond à une réaction cathodique complète (le transfert ionique vers les électrodes est maximal) : tout ion ferri-cyanure est transformé en ion ferro-cyanure. Dans la plupart des cas, la tension de polarisation U_p se situe au voisinage de 350 mV (entre 300 et 400 mV).

Fig. 27 : Exemple de polarogramme


Le courant de diffusion délivré par la cathode est de l'ordre de quelques micro-Ampères. Sa mesure nécessite l'utilisation d'amplificateurs opérationnels suivis de convertisseurs courant-tension avec un gain de l'ordre de 10⁶. La figure ci-dessous donne le schéma de principe de ce convertisseur pour deux sondes simples (I_A et I_B) ou une sonde double (I_A-I_B). La mesure du courant I par l'intermédiaire d'une sonde de faibles dimensions (section rectangulaire ou circulaire) et affleurant la paroi, permet de relier le cisaillement pariétal local S (gradient de vitesse à la paroi ) au courant I par la lois suivante :



où K est une constante d'étalonnage, et I le courant électrique en µA. En utilisant deux sondes rectangulaires séparées par une très mince couche isolante, on peut montrer (figure ci-dessous) qu'on a accès au sens de l'écoulement et au gradient pariétal de vitesse S :


Ceci permet de déterminer le frottement pariétal instantané ainsi que sa direction par l'expression :



où µ_l est la viscosité dynamique du liquide (solution aqueuse).
Fig. 28 : Schéma de sondes électrochimiques en paroi (a: sonde simple, b: sonde double)




2.10. Visualisation par caméra (ou caméra Rapide) Les systèmes de visualisation des écoulements diphasiques gaz-liquide par caméra classique ou rapide ont largement contribué à la compréhension des phénomènes physiques que ce soit sur le plan qualitatif ou quantitatif. Actuellement, les systèmes de caméras CCD classiques ont été remplacés par des systèmes de PIV (25 ou 30 images par seconde) où l'exploitation de la visualisation permet de donner instantanément les différentes grandeurs cinématiques de l'écoulement. Pour des écoulements très rapides, les systèmes PIV sont relativement assez lents pour être employés. Ainsi, l'utilisation d'un système de caméra rapide (jusqu'à 100000 images par secondes dans certains cas, en balestique par exemple) s'avère nécessaire pour la visualisation. Ce système peut être commandé par un micro-ordinateur grâce à un logiciel approprié. Un traitement numérique ultérieur permet de qualifier convenablement l'écoulement étudié. La figure ci-dessous donne l'exemple d'une chaîne de visualisation par caméra rapide.



Fig. 29 : Exemple de système de visualisation par caméra rapide



2.11. Sondes optiques

En écoulements diphasiques gaz-liquide, les sondes optiques jouent un rôle primordial dans la détection locale de la phase gazeuse. Le principe de la détection est basé sur la différence d'indice de réfraction du milieu en présence à l'extrémité de la fibre optique (partie active de la fibre appelée aussi optrode). Cette dernière est reliée à un module optoélectronique par l'intermédiaire d'un câble optique. La lumière émise par une diode électroluminescente du module est guidée par ce câble jusqu'à l'extrémité de l'optrode. Cette lumière partiellement réfléchie ou totalement réfléchie (selon le milieu), subit le trajet inverse puis séparée au moyen d'un coupleur, éclaire le photo détecteur comme le montre la figure 30. Le signal électrique analogique fourni par ce photo détecteur est ensuite amplifié puis transformé en un signal logique de type à deux niveaux représentatifs de l'état de la phase du milieu. L'extrémité de la fibre optique est bien taillée de façon à avoir un très faible rayon de courbure qui permet une réflexion totale dans l'air, et de détecter les plus petites bulles (jusqu'à 10 µm de diamètre selon les constructeurs). L'utilisation d'une sonde simple permet de donner la fonction indicatrice des phases à partir de laquelle on obtient le taux de vide local moyenné dans le temps. Les vitesses locales des bulles peuvent être aussi obtenues à l'aide d'une bisonde optique. Celle-ci intègre deux sondes optiques simples avec une distance "a" qui sépare leurs parties sensibles. Le décalage temporel entre les deux signaux et les temps de séjours des bulles permettent de déterminer localement les vitesses u et les longueurs découpées l de ces bulles. Ces grandeurs dynamiques nécessitent dans la plupart des temps un traitement numérique des couples de signaux optiques. Généralement, pour l'étude des écoulements à bulles de diamètres moyens compris entre 2 et 10 mm, on utilise des bisondes séparées par une distance mm.


Pour la fabrication et commercialisation de ces sondes, il existe deux sociétés concurrentes en France qui partagent le marché : la société Photonetics (Paris) et la société RBI (Grenoble).


Fig. 30 :Principe de fonctionnement de la sonde optique


تااااااااااااابع

3. TRAITEMENT NUMÉRIQUE DU SIGNAL L'acquisition et le traitement des signaux sont devenus presque indispensables dans les études et les recherches en mécanique des fluides (turbulence), dans le but d'extraire rapidement et instantanément (temps réel) les informations utiles souhaitées. Actuellement, les possibilités offertes par l'informatique pour l'acquisition et le traitement numérique du signal se sont considérablement accrues et diversifiées. Si on considère une fonction aléatoire dépendante du temps t, alors les notions de statistiques mathématiques pourront être appliquées à cette dernière dans le but d'extraire les informations utiles recherchées.



3.1. Description statistique des variables aléatoires Pour une variable aléatoire x, on peut définir à partir d'une série de n mesures (de ) les propriétés suivantes :

• Qualités générales d'un estimateur â d'une grandeur statistique a :
  

*Convergent : â tend vers la valeur réelle a , soit
* Sans biais : a est la valeur moyenne de multiples évaluations de â , soit
* Efficace: la distribution statistique de â doit posséder une variance la plus faible possible (correspond à la précision de l'estimateur)


* Robuste: l'évaluation de â est peu influencée par la distribution statistique de a.

• Moyenne :
  

à c'est un bon estimateur de l'espérance mathématique

• Variance :
  

à Cette estimation est biaisée car si est petit.
Par la suite, on supposera que ce qui va permettre d'alléger les notations. Les propriétés statistiques des estimateurs sont les suivantes :
* et ne sont pas corrélés,
* suit une loi de répartition normale d'espérance mathématique et de variance ,
* suit une loi du , d'où d'espérance mathématique et de variance .


On définit les quantités suivantes :

Fonctions de répartitions

• Probabilité :
  

: c'est l'aire sous la courbe
Avec :

• Distribution centrée réduite: l'espérance mathématique est nulle et l'écart type est unitaire. En procédant au changement de variable suivant :
  

On obtient la fonction tabulée :

• Valeurs particulières : (intervalle ou domaine de confiance)
  

La probabilité pour que est :


En particulier, si :

* à
* à
* à

a) Densité de probabilité


Pour la variable aléatoire x, on a :

• L'espérance mathématique (ou valeur moyenne) est m. D'après la symétrie de la distribution, on a :
  
  * La position du maximum de (le mode)
  * La médiane :
  

• La variance où représente l'écart type.
  

• La densité probabilité est une fonction normée. Son intégration entre et donne 1.
  

b) Fonction caractéristique : Transformée de Fourrier La transformée de Fourier de la variable aléatoire (notée ) s’écrit :
La transformée de Fourier inverse de la variable aléatoire (notée ) donne la variable aléatoire par l’expression :

Pour la densité de probabilité, cette transformée de Fourier s’écrit :
où et
La connaissance de la fonction caractéristique permet de d’aboutir à tous les moments statistiques. En effet, le développement en série de Taylor de s’écrit :






Dans ce développement, on a : E(w) : est le moment d’ordre 1,
: est le moment d’ordre 2,
: est le moment d’ordre 3,
.
.
.
: est le moment d’ordre n.



A partir de la définition de ces moments, on peut remarquer que :
: moment centré d’ordre 2 (ou la variance)

L’écart type (standard deviation) s’écrit :
En mécanique des fluides, représente la fluctuation de vitesse turbulente ou encore l’intensité de turbulence.

• Facteur de dissymétrie (Skewness factor)
  

Le facteur de dissymétrie est défini à partir des moments centrés par l’expression :

• Facteur d'aplatissement (Flatness factor)
  

Le facteur d’aplatissement est défini aussi à partir des moments centrés par l’expression :

Pour caractériser la turbulence en mécanique des fluide, il est nécessaire d’extraire les 4 premiers moments statistiques centrés du signal étudié.

c) Processus Gaussien

Pour un procéssus Gaussien, on a :
et



d) Théorème central limite L’addition de procéssus aléatoires quelconques tend vers un procéssus Gaussien quand devient grand. En effet, pour la variable aléatoire , le "théorème central limite" s’écrit :
où : est l’écart type.

e) Fonctions de corrélation de variables centrées

Considérons la variable centrée . Sa moyenne s’écrit :
à si la fonction est continue,
à si la fonction est discontinue.

Fig. 31 : Variable centrée

Fig. 32 : Fluctuation de la variable centrée :

• Auto corrélation Eulérienne
  

On définie le coefficient d’auto corrélation Eulérienne par le rapport :


où :

est la moyenne temporelle,
à est la variance.

Cette fonction d’auto corrélation possède les propriétés suivantes :

• La fonction est paire,
  
• ,
  
• .
  

• Inter corrélation spatiale
  

On définie le coefficient d’inter corrélation Eulérienne par le rapport :


où est l’axe spatial et est la distante séparant les 2 points où les signaux et ont été relevés simultanément pendant le même instant t.

Fig. 33 : Fluctuation des deux variables centrées et


La fonction d’inter corrélation possède les propriétés suivantes :

• La fonction est paire,
  
• ,
  
• .
  

Pour les variables centrées et , la courbe de l’inter corrélation peut être représentée comme ci-dessous.

Fig. 33 : Inter corrélation des variables centrées et


Si on considère capteurs de signaux placés selon l’axe z à la distance , , jusqu’à , alors la représentation des fonctions d’inter corrélation temporelle sur le même graphe peut être donnée par la figure ci-dessous.

Fig. 34 : Inter corrélations spatiotemporelles des variables centrées





Sur cette figure, les maximums des fonctions d’inter corrélation peuvent être enveloppées par une courbe permettant de caractériser l’échelle de turbulence. Ainsi, la longueur qui représente l’espace axial sur lequel le tourbillon perd son espèce (ou son corps) , appelée aussi "longueur de mélange", correspond à . A partir de cette enveloppe (courbe discontinue en gras), on peut étudier aisément les échelles de turbulence : la micro échelle , la macro échelle et l’échelle intégrale , qui sont liées par les expressions :


Fig. 35 : échelles de turbulence obtenues à partir de

• Spectre de fréquence
  

La transformée de Fourier d’un signal donne un signal complexe X(w) de la forme :
A partir de cette grandeur complexe, on peut définir :

• le spectre d’amplitude :
  
• le spectre d’énergie : à celui que l’on représente généralement. Il représente l’énergie cinétique.
  
• le spectre de phase :
  

Dans le cas où les 2 signaux sont périodiques, le spectre de fréquences discrètres comprend des harmoniques où l’énergie est concentrée raie par raie (| | | |). On peut déterminer l’énergie du spectre dans l’espace temps ou dans l’espace de fréquence.


Le spectre d’énergie normé constitue une densité de puissance spectrale normée. Si et , alors :
En général, la représentation graphique de cette densité se fait en échelle logarithmique (sur les deux axes). Lorsque un phénomène existe, celui-ci est caractérisé par un pic à une fréquence bien déterminée. L’unité du spectre est le décibel ().

Fig. 36 : Spectre d’énergie, fréquence caractéristique

3.2. traitement des signaux en écoulement diphasique
Dans ce paragraphe, on se limitera aux signaux de film chaud et aux couples de signaux de bisonde optique. D’autres type de signaux tels que les signaux conductimétriques ou polarographiques peuvent être traités avec une procédure analogue à celle des films chauds.

3.2.1. Signaux de film chaud



En écoulements diphasiques, la vitesse locale du liquide peut être mesurée par un film chaud. Lors de l’acquisition, on obtient un signal brut de tension (fig.37) récupéré à la sortie de l'amplificateur. Une fois convenablement seuillé, on obtient un signal de liquide seul après l'élimination automatique de tous les passages de bulles et par raccordement des différents bouts (fig.37). Sur ce signal de liquide, on applique la courbe d'étalonnage pour transformer le signal de tension en signal de vitesse. Pour déterminer les seuils et , on utilise la fonction densité de probabilité ou histogramme du signal brut de tension (fig.38a). La dérivée seconde (ou de l’histogramme) donne plusieurs extremums. Les deux maximums extrêmes correspondent aux seuils et (fig.38b).

Fig. 37 : Extraction du signal de liquide seul à partir du signal brut diphasique

Fig. 38 : Détermination des seuils S₁ et S₂

3.2.2. Signaux de bisonde optique (2 sondes simples séparées par une distance "a")


A partir des deux signaux délivrés par la sonde optique double, nous avons adopté une méthode numérique qui permet de donner toutes les informations possibles concernant les différentes grandeurs dont dépend la phase gazeuse. La précision de cette méthode est étroitement liée à la fréquence d'échantillonnage et à la durée de l'acquisition, car toutes les grandeurs extraites dépendent du temps réel.

Pour le calcul du taux de vide, on opère de la façon suivante: le signal délivré par chacune des deux sondes optiques se présente sous forme de créneaux aléatoires qui peuvent être bruités dont le minimum et le maximum correspondent respectivement au gaz et au liquide. Ces créneaux qui peuvent être seuillés, puis transformés en un signal logique compris entre les valeurs 0 et 1 volt. Les amplitudes maximales et minimale correspondent respectivement à la phase gazeuse et à la phase liquide. Le taux vide local donné par chacune des deux sonde est tout simplement la moyenne calculée sur chaque signal logique. Le taux de vide local donné par la bisonde optique est alors la moyenne des deux moyennes précédentes obtenues pour chacun des deux signaux logiques. La procédure de mesure de la vitesse axiale des bulles, repose sur le couple de signaux logiques obtenus à partir de la bisonde optique. Pour cela, on place les deux fibres optiques l'une après l'autre dans la direction de l'écoulement afin de détecter le temps de transit des bulles de la première sonde vers la seconde. La distance séparant les parties actives de la bisonde optique est égale à "a".




Fig. 39 : Tri des bulles à partir des signaux S₁ et S₂


Fig. 40 : Les différents cas de figures des signaux S₁ et S₂


Pour une bulle isolée se déplaçant dans le sens indiqué par la figure ci-dessous, sa vitesse ainsi que sa longueur découpée sont définies par les quantités suivantes :


où : : le temps de transit du front de la bulle i entre les deux fibres 1 et 2,
: le temps de transit de l’arrière de la bulle i entre les deux fibres 1 et 2,
: le temps de séjours de la bulle i devant la fibre 1,
: le temps de séjours de la bulle i devant la fibre 2,
: la vitesse axiale instantanée de la bulle i,
: la longueur "découpée" de la bulle i.

Fig. 41 : Méthode de calcul de la vitesse axiale et de la longueur découpée pour une bulle isolée

Pour un ensemble de n bulles, on peut calculer statistiquement les différentes moyennes locales, les différents moments, les différents écarts types ainsi que le sens de déplacement des bulles. La vitesse locale moyenne peut être également déterminée par l’inter corrélation temporelle des deux signaux optiques temporels. Le sens de l'écoulement (ou le signe de la vitesse) est obtenu directement par le signe du temps optimum de l'inter corrélation temporelle.


Concernant les tailles de bulles, on peut dresser un histogramme des différentes cordes de longueurs découpées ensuite, ensuite envisager de remonter au diamètres des bulles en suivant par exemple un schéma statistique (Belakhovscky, 1974).


Fig. 42 : Histogramme des longueurs découpées des bulles

baraka allaho fik ya yacine

pas de qoui abdo ..

شكرا يا ياسين
ان شاء الله يكون الاختبار غدو ساهل ............. امين

ههههههه .. ان شاء الله ..

شوطونا النهارين اللي فاتو ..