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 Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية

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[email=Fethi.Aloui@physique.univ-nantes.fr][/email]











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Chapitre III
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES








Plan

1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
1.1. Dérivée particulaire d’une grandeur
1.2. Théorème de transport de Reynolds
2. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT MONOPHASIQUE
2.1. Bilan de masse
2.2. Bilan de quantité de mouvement
2.3. Bilan d’énergie totale
2.4. Évolution de l’entropie
2.5. Écriture locale des bilans
2.5.1. Bilan de masse
2.5.2. Bilan de quantité de mouvement
2.5.3. Bilan d'énergie totale
2.5.4. Évolution de l'entropie
3. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT DIPHASIQUE
3.1. Écriture locale
3.1.1 Bilan de masse
3.1.2. Bilan de quantité de mouvement
3.1.3. Bilan d’énergie totale
3.1.4. Évolution de l’entropie
3.1.5. Écriture locale des bilans
3.2. Forme généralisée des équations locales de bilans







1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Pour établir les équations locales des systèmes diphasiques, nous avons besoin de connaître un certains nombre d’outils mathématiques.



1.1. Dérivée Particulaire : Par définition, la dérivée particulaire est la dérivée par rapport au temps d’une grandeur liée à une particule. La grandeur est dans le cas général de nature tensorielle. Cette dérivée est notée le plus souvent par : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image1
Dans le cas d’une grandeur scalaire Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image2, cette dérivée particulaire s’obtient immédiatement par application du théorème de dérivation des fonctions composées :


si g est une grandeur scalaire, alors : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image226
où on note ici : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image227
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image7 est un point matériel de coordonnées Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image8 et Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image9 est une base canonique de repère orthonormé Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image10.
Pour une grandeur vectorielle Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image11, il suffit d’appliquer le résultat précédent pour chaque composante (en adoptant la convention d’Einstein)
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image228 : grandeur vectorielle Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image229 où : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image230
àChapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image231 : tenseur d’ordre 3
à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image232
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image233 : grandeur tensorielle Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image234 où : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image235
àChapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image236 : tenseur d’ordre 3
à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image237



1.2. Théorème de transport de Reynolds : Soit Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image14 une fonction à plusieurs variables représentant une surface en déplacement dans l’espace et dans le temps.
Cette fonction sous la forme d’une équation : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image15
La différentielle de Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image16 par rapport au temps s’écrit :
* f : fonction à plusieurs variables x1, x2, x3 et t à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image238 à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image239
* Différentielle de f à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image240
avec : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image241à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image242


* v et v0 : volumes de contrôle à l’instant t et t0

* J : Déterminant de la matrice Jacobienne de la transformation de dv en dv0 Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image243 à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image244
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image245


* On admet que : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image246 à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image247: vitesse de déplacement d’un point matériel M


D’où : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image248
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image249
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image250


Soit : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image251



* Théorème d’Ostrogradski (Théorème de Gauss) :

Þ Transformation d’une intégrale de volume (v) en une intégrale de surface fermée (S)

à f : fonction à plusieurs variables : Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image252
à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image253 : normale à la surface fermée S : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image254
à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image255 : vitesse de déplacement de la surface fermée S


* Le théorème d’Ostrogradski donne pour : - une fonction scalaire Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image256 Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image257 (1)
- une grandeur vectorielle Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image258 Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image259 (2)
- une grandeur tensorielle Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image260 Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image261 (3)
(1), (2) et (3) constituent le Théorème de transport de Reynolds



2. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT MONOPHASIQUE

Objectif du Théorème de transport de Reynolds àcalcul des bilans globaux

Bilans globaux Þ Principes physiques de la conservation ou d’évolution

à Conservation de la masse Þ Continuité

à Conservation de la quantité de mouvement Þ Principe Fond. Dynamique

à Conservation de l’énergie totale Þ 1er Principe de la Thermo.

à Evolution de l’entropie Þ 2nd Principe de la Thermo. Bilans appliqués à des volumes de contrôle (v) constitués à chaque instant
par les mêmes éléments de matière.


Frontière de chaque volume de contrôle (v) :

Þ imperméable à la matière

Þ peut passer la quantité de mouvement sous forme de contraintes Þ peut passer l’énergie sous forme de flux de chaleur



2.1. Bilan de masse :

àThéorème de transport de Reynolds Þf = r àmasse volumique du fluide àConservation de la masse Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image262
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image263



2.2. Bilan de quantité de mouvement :

à v : volume de contrôle de surface fermée à M : point matériel de (v) à l’instant t Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image264à2 types d’écritures
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image265
où :
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image266 à densité massique des forces extérieures exercées au point Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image267
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image268 à tenseur de contraintes en un point P : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image269
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image270 à normale à une facette contenant le point P
Þ Principe Fondamental de la Dynamique



2.3. Bilan d’énergie totale (1er Principe de la thermodynamique) : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image271
où :
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image272 à vitesse de déplacement d’un point matériel M du volume de contrôle (v)
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image273 à masse volumique du fluide
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image274 à dépend du gradient de température :
Þ Loi (linéaire) de Fourier : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image275
- Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image276 à conductivité thermique du milieu (fluide)
- Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image277 à énergie interne du système



2.4. Évolution de l’entropie (2nd Principe de la thermodynamique) :

à Inégalité de Clausius Duhem Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image278 Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image279 Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image280


où : * Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image281 à température
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image274 à flux de chaleur
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image282 à entropie du système
* Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image283 à entropie créée par le système



2.5. Écriture locale des bilans :

2.5.1. Bilan de masse : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image284 Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image285
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image286 à équation de continuité



2.5.2. Bilan de quantité de mouvement :

* Quantité de mouvement linéaire : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image287
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image288
à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image289 : composantes du tenseur de contraintes Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image290



* Quantité de mouvement angulaire : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image291
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image292
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image293
à Tenseur symétrique



2.5.3. Bilan d’énergie totale (1er Principe) : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image294
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image295 : divergence



2.5.4. Évolution de l’entropie (2nd Principe) : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image296
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image295 : divergence



3. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT DIPHASIQUE

En écoulements diphasiques, on utilise la même procédure que précédemment à laquelle on rajoute les conditions d’interfaces des phases pour établir les équations des bilans globaux et locaux.

À partir de l’écriture globale des bilans, le théorème de transport de Reynolds (Leibnitz) ainsi que le théorème de Gauss (Ostrogradski) permettent l’obtention des équations locales contenues dans l’intégrale de volume. Quant aux équations locales contenues dans l’intégrale de surface, elle sont obtenues grâce aux conditions d’interface sur les grandeurs locales appartenant à chaque phase de part et d’autre de chaque interface.

3.1. Écriture locale des bilans :

Considérons le volume matériel représenté par la figure ci-dessous. Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Im17
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image297 à volume total de contrôle
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image298 : de surface fermée Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image299 (sans compter Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image300)
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image301 : de surface Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image302 (sans compter Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image303)


Hypothèses: - Pas d’échange de masse sur les surfaces en contact Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image299 et Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image302
- Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image304 : interface perméable à échange de masse entre Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image298 et Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image301 au travers cette interface
- Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image305 à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image306



3.1.1. Bilan de masse : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image307


avec : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image308
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image309
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image310
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image311
Pour les deux phases liquide et gaz, on a :Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image312


Pour chaque phase, il y a conservation : Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image313


C’est à dire : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image314 ou Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image315
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image316 débit massique de la phase Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image317


Remarque :

Pas de glissement entre les phases Þ Pas de transfert de masse entre les phases Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image318 Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image319



3.1.2. Bilan de quantité de mouvement :

* Quantité de mouvement linéaire : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image320
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image321 à tenseur de contraintes de la phase Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image322
Pour les deux phases liquide et gaz Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image323


* Quantité de mouvement angulaire : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image324 ÞChapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image325
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image326 à transposé du tenseur de contraintes Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image321 de la phase Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image322



3.1.3. Bilan d’énergie totale : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image327
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image328


3.1.4. Evolution de l’entropie : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image329
avec : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image330
Conditions d’interface Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image331
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image332 à entropie générée par les conditions de l’interface



3.1.5. Cas particuliers : application du bilan de quantité de mouvement : * Écoulement bidimensionnel avec tension superficielle

Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Im18


Compte tenu de la tension superficielle l’équation du mouvement s’écrit : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image333


où : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image334 à tension superficielle de la phase liquide
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image335 à abscisse curviligne
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image336 à rayon de courbure de l’interface au point M
Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image337 à effets mécaniques du gradient de Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image334Þ Effet Marangoni
à Pas de transfert de masse entre les phases (1) et (2)Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image338
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image339
à Si (1) et (2)sont des fluides non visqueux Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image340
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image341
à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image342 ce qui n’est pas toujours vrai ou le cas général
avec : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image343 vecteurs unitaires
Þ Hypothèse de fluides non visqueux est incompatible avec présence de gradient de Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image334
à Si (1) et (2)sont des fluides non visqueux et Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image342 Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image344


* Écoulement unidimensionnel sans tension superficielle

Équation du mouvement + conditions de l’interface : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image345 Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image346


à Si (1) et (2)sont des fluides non visqueux Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image347 avec : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image348


Si pas de transfert de masse entre les phases Þ Pas de glissement possible entre phases

à Si (1) et (2)sont des fluides visqueux Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Im19
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image349
à Bilan de masse sur chaque phase k : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image350
à Phases iso – volumes (Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image351) : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image352
à Écoulement unidirectionnel : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image353 à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image354
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image355
Or, on a : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image356
C’est à dire : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image357
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image358
Soit : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image359

avec : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image360
Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image361 à Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image362
à r2 << r 1 à basse pression Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image363
Soit : Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image361



3.2. Forme généralisée des équations locales de bilans : * Équations locales Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image364
* Conditions d’interface Þ Chapitre III:ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES لطلبة الماستر طاقوية Image365


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