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 |  موضوع: Chapitre V:MODÈLES GLOBAUX UTILISÉS EN ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES لطلبة الماستر طاقوية  الخميس مارس 10, 2011 6:55 pm | |
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[email=Fethi.Aloui@physique.univ-nantes.fr][/email] Chapitre V MODÈLES GLOBAUX UTILISÉS EN ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Plan 1. INTRODUCTION 2. MODÈLES CLASSIQUES D'ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES 2.1. Modèle homogène 2.1.1. Équations de fluides compressibles dans une conduite 2.1.2. Expression diphasique du bilan de masse 2.1.3. Expression du terme de frottement 2.1.4. Modèle bidimensionnel à une vitesse 2.2. Modèle à phases séparées 2.2.1. Équations diphasiques en conduite circulaire 2.2.2. Expression du terme de frottement 2.2.3. Exemple d'application du modèle global de Martinelli-Nelson :
1. INTRODUCTION Le mot « modèle » désigne un système d’équations décrivant une certaine image que l’on se donne d’un écoulement diphasique réel. Considérons par exemple un écoulement eau-air à bulles dans une conduite verticale. Un tel écoulement diphasique n’est jamais strictement axisymétrique et de plus les bulles circulent à vitesse plus élevée que le liquide en raison des forces d’Archimède. En revenche, on peut décider de remplacer l’écoulement réel par une image idéalisée où l’écoulement serait supposé axisymétrique et où les vitesses des deux phases seraient égales. Le modèle mathématique peut être à une ou deux variables d’espace indépendantes selon le type d’équations moyennées que l’on utilisera : moyenne surfacique instantanée ou moyenne temporelle locale. Le choix d’une image de l’écoulement diphasique repose essentiellement sur le choix de propriétés géométriques (configuration axisymétrique, interfaces cylindriques, annulaires, etc.), de propriétés cinématiques (vitesses relatives entre les phases), ou de propriétés thermiques (conditions de saturation pour une ou deux phases). Ces deux dernières propriétés représentent les déséquilibres cinématiques et thermiques entre phases. Un modèle global est un modèle qui ne prend pas en compte le type d’écoulement (par exemple : modèle homogène ou modèle à phases séparées). En revanche, les modèles particuliers tiennent compte du type d’écoulement.  2. MODÈLES CLASSIQUES D'ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES 2.1. Modèle homogène : Dans le modèle global homogène, on remplace l’écoulement diphasique par un pseudo - fluide monophasique incompressible dont les propriétés (vitesse, température masse volumique et viscosité) sont les moyennes du mélange obéissant aux lois d’un écoulement monophasique. Dans le cas où une phase se présente sous un aspect finement divisé, on dit que le modèle est en équilibre thermodynamique et dans ce cas on peut se permettre de proposer l’hypothèse simplificatrice suivante : * Mélange diphasique à pseudo – fluide monophasique incompressible * Caractéristiques à moyennes du mélange diphasique : viscosité, masse volumique, etc. Þ Caractéristiques qui obéissent aux lois d’un écoulement monophasique * Profils de vitesse et de température : à uniformes dans les deux phases àpas de glissement entre les phases  Þ  Remarque : Ce modèle a longtemps été utilisé en génie pétrolier, dans la production de vapeur, dans les systèmes de réfrigération, etc. Plus les pressions et les vitesses sont élevées dans le mélange, plus ce modèle global représente d’autant mieux la réalité. 2.1.1. Équations de fluides compressibles dans une conduite : *  à Équations de bilans : Þ  * Écoulement permanent à  : Þ  2.1.2. Expression diphasique du bilan de masse : * Équation diphasique à conservation de la masse : Þ  * Écoulement permanent à  : Þ  * Vitesse uniforme sans glissement entre les phases à  : Þ  Soit :  à Le bilan de quantité de mouvement donne également le même résultat. * Débits volumiques de chaque phase à obtention du taux de vide global ou titre volumique :  Þ  Þ  * Débit massique à  : Þ  avec :  Þ  * Si  : Þ  2.1.3. Expression du terme de frottement : * Coefficient de frottement pariétal à  (sans unité), * Contrainte de frottement pariétal à  (en Pa) :  où  est la masse volumique équivalente du mélange diphasique. * Nécessité de connaître la viscosité équivalente du mélange diphasique : Þ 2 Méthodes : Rationnelles et irrationnelles ¨Méthodes rationnelles : Formule d’Einstein (pour des sphères solides :  ) Þ  Formule de Taylor (pour des bulles ou des gouttes :  ) Þ  - Bulles d’air dans l’eau à - Bulles d’air sphériques indéformables (solides) à Formule de Binkman et Roscoe Þ  ¨Méthodes irrationnelles : à Expressions irrationnelles de la viscosité équivalente par de nombreux auteurs : Þ  * Expression du coefficient de frottement Cf : Þ  avec : l coefficient de perte de charge régulière : * Écoulement laminaire Þ  * Écoulement turbulent lisse Þ  * Écoulement turbulent rugueux Þ  * là obtenu à partir du diagramme de Moody * e/D à rugosité relative de la conduite 2.1.4. Modèle bidimensionnel à une vitesse : * Modèle de Bankoff à écoulement dans une conduite circulaire axisymétrique * Pas de glissement local entre les phases à profil parabolique de vitesse * Profil parabolique du taux de vide local :  Þ  Þ K à varie de 0.6 à 1 si m et n varient respectivement de 2 à 7 et de 0.1 à 7 * Le calcul permet de donner :  Þ Modèle de Bankoff :  avec : * P à pression en bars * K à paramètre d’Armand 2.2. Modèle à phases séparées : * On tient compte des propriétés de chaque phase Þ vitesse, température, taux de vide, etc. * Modèles correctement élaborés : Þ * 3 équations moyennées pour chaque phase (moyennes surfaciques) * Conditions d’interface * Modèles simples (une seule grandeur) à profils de vitesse des deux phases : différents Þ* 3 équations diphasiques (moyennées sur une section) * Corrélations empiriques pour la fermeture du système d’équations 2.2.1. Équations diphasiques en conduite circulaire : Compte tenu de ces hypothèses, on peut établir ainsi les équations diphasiques, par exemple pour le cas d'un écoulement en conduite circulaire : Þ  2.2.2. Expression du terme de frottement tp : * Deux méthodes (ou corrélations) : aLockhart - Martinelli aMartinelli – Nelson Þ Précisions suffisantes si les 2 corrélations sont appliquées dans leurs domaines de validité ¨ Méthode de Lockhart – Martinelli : à Méthode qui convient aux écoulements diphasiques dont la pression est voisine de Patm. Soit :  à débit massique total * Bilan de quantité de mouvement pour une conduite droite horizontale : Þ  à Si l’accélération de l’écoulement est négligeable Þ  à Si on pose : *  à chute de pression par frottement si le gaz occupe toute la section Þ débit  *  à chute de pression par frottement si le liquide occupe toute la section Þ débit  à Si on définit les nouvelles variables suivantes :  et  avec  : paramètre de Lockhart - Martinelli  à peut être obtenu à partir de la relation (valable pour le liquide et le gaz) :  à En écoulement turbulent :  Þ  Þ  à Or selon la définition du titre massique x on a :  car  Þ  à D’où le paramètre s’écrit :  à Soit :  à Ou encore sous forme approchée :  à Généralement, on trace  ,  ou  en fonction du paramètre  . à Coefficient de perte de charge l Þ dépend du régime de l’écoulement : * régime liquide laminaire et régime gaz laminaire Þ ll * régime liquide laminaire et régime gaz turbulent Þ lt * régime liquide turbulent et régime gaz laminaire Þ tl * régime liquide turbulent et régime gaz turbulent Þ tt Þ Les corrélations représentant ces courbes sont :   à avec aà taux de vide moyen ÞLe coefficient C dépend du régime d’écoulement :  ¨ Méthode de Martinelli - Nelson : à Valable pour les écoulements diphasiques du type eau – vapeur d’eau Þ haute pression à Représentation de (taux de vide moyen) ou  en fonction du titre massique  à Le paramètre est donné par :  *  Þ frottement *  Þ écoulement de liquide seul dans la même conduite à  Þ et (taux de vide moyen) à courbes paramétrées en pression (où la pression est exprimée en bar)  2.2.3. Exemple d’application du modèle global de Martinelli – Nelson : On considère : à Écoulement permanent en moyenne d’un mélange diphasique eau – vapeur, à Conduite de section circulaire constante de diamètre  , à Inclinée d’un angle  par rapport à la verticale, à  longueur de la conduite, à  densité de flux de chaleur à la paroi. * Bilan de quantité de mouvement :  à Vitesse massique du mélange s’écrit :  Soit :  à Pour chaque phase on écrit :  à Terme de frottement :  où :  Soit :  à Intégration de  entre  et  Þ  * Bilan d’énergie diphasique totale : à Hypothèses : * Flux de chaleur Þ supposé constant * Énergies cinétique et potentielle Þ supposées négligées à On obtient :  à Chaleur latente du mélange diphasique et du liquide Þ  (hypothèses), Þ  Si  pour  Þ intégration de  :  à Si  : Þ  D’où :   à On pose :  Soit :  Þ  et  à courbes paramétrées en fonction du titre massique x  à Terme de gravité :  avec :  Þ facteur gravitationnel :  à courbes paramétrées en   |
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