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Chapitre IV
ÉQUATIONS MOYENNÉES EN ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES

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Plan

1. INTRODUCTION
2. ÉQUATIONS MOYENNÉES SUR UNE SURFACE
2.1. Bilan de masse
2.2. Bilan de Quantité de mouvement
2.3. Bilan d'énergie totale
2.4. Bilan de l'entropie
3. ÉQUATIONS MOYENNÉES S DANS LE TEMPS
3.1. Rappels sur les moyennes temporelles
3.2. Moyennes simples des équations dans le temps
4. ÉQUATIONS DOUBLEMENT MOYENNÉES
4.1. Bilan de masse
4.2. Bilan de Quantité de mouvement
4.3. Bilan d'énergie totale
4.4. Bilan de l'entropie
4.5. Utilisation pratique des moyennes doubles
4.5.1. Bilan de masse
4.5.2. Bilan de Quantité de mouvement
4.5.3. Bilan d'énergie totale
4.5.4. Bilan de l'entropie

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1. INTRODUCTION


Compte tenu du caractère complexe, fluctuant et aléatoire des écoulements diphasiques, il faut introduire des opérateurs de moyenne. Ces derniers permettent de simplifier les équations diphasiques en agissant :

• soit sur les moyennes dans l’espace (volume, section, segment),
  
• soit sur les moyennes dans le temps,
  
• soit sur les moyennes dans l’espace et le temps.
  

Comme dans tout procédé de moyenne, on obtient des variables diphasiques globales qui ne décrivent plus l’écoulement dans tous ses détails (perte d’informations locales), mais qui permettent de mettre en évidence des paramètres qui peuvent être mesurables et qui présentent un intérêt pratique. Ainsi, dans le cas d’un écoulement à bulles par exemple, il est intéressant de connaître le taux de vide moyenné sur une section que de connaître le champ de vitesses instantanées autour d’une bulle.


Dans ce qui suit, on établira les équation diphasiques (équations de bilans) moyennées sur une surface, dans le temps et enfin dans l’espace et le temps (équations doublement moyennées).

Ci-dessous, un schéma explicatif résume la manière d'établir les équations diphasiques gaz liquide pour l'obtentions à la fin des équation locales doublement moyennées.




2. ÉQUATIONS MOYENNÉES SUR UNE SURFACE Considérons une conduite de section variable selon un axe rectiligne fixe et dans laquelle s’écoule un mélange à deux phases. On définit comme étant le volume de la phase limité par la surface , la section droite de la phase , la circonférence, la normale à et la normale à qui est située dans le plan de la section de la conduite.



où :
à Circonférence de dans la section droite
à Volume de la phase k délimité par la surface fermée
à Section droite de la phase k
à Axe de la conduite
à Normale à
à Normale à



Pour cette configuration, on rappelle les expressions des théorèmes de transport de Reynolds (Leibnitz) et de Gauss (Ostrogradski) : * Grandeur scalaire :
Leibnitz
* Grandeur vectorielle :
Ostrogradski
* Grandeur tensorielle :
Ostrogradski


2.1. Bilan de masse :

Considérons la configuration ci-dessous (vue de dessus d'une conduite verticale où les phases sont séparées) :


Le bilan de conservation de la masse s’écrit :





à Théorème de transport de Reynolds (Leibnitz) : Þ
avec :


à Théorème d’Ostrogradski (Gauss) : Þ

avec :
D'où le bilan de masse s'écrit :
La moyenne surfacique d’une grandeur quelconque sur une surface s’écrit :

Soit :


Þ C’est l’équation phasique relative à la phase k

Équation diphasique pour les deux phases liquide et gazeuse : Þ avec :
On pose :
Þ


2.2. Bilan de quantité de mouvement :

L’équation de quantité de mouvement s’écrit pour le système diphasique : Þ


à Leibnitz et Ostrogradski : Þ


Si : à est constante dans quelque soit
à la section totale de la conduite est constante
à : vecteur unitaire
Projection sur l’axe Þ Ostrogradski
à


Équation phasique relative à la phase k : Þ


2.3. Bilan d'énergie totale (Premier Principe de la Thermodynamique) :

L’équation de quantité de mouvement s’écrit pour le système diphasique :
On définit l’enthalpie H_kde la phase k par :
Projection sur l’axe Þ Leibnitz + Ostrogradski à équation phasique locale :
Þ
Équation diphasique à somme des 2 équations phasiques pour k=1 et k=2

Þ
où :


2.4. Évolution de l'entropie (Second Principe de la Thermodynamique) : Pour chaque phase , on peut écrire :
à : entropie créée de la phase
Projection sur l’axe :
à Équation phasique locale Þ


à Équation diphasique locale Þ
où :


3. ÉQUATIONS MOYENNÉES DANS LE TEMPS 3.1. Rappels sur les moyennes temporelles :
Soit la grandeur ( si cette grandeur est vectorielle ou si cette grandeur est un tenseur) représentant la phase . En un point donné de l’écoulement diphasique, la phase passe d’une façon discontinue comme l’indique la figure ci-dessous.





à grandeur représentant la phase : scalaire, vectorielle (=) ou tensorielle (=)
à fonction discontinue à étudier en un point donné dans le temps sur une période
à choisie suffisamment grande devant le temps caractéristique de la turbulence (longueur du mélange selon la macro – échelle)
à intervalle de temps cumulé de présence de cette phase sur :



* Forme Limite du théorème de Leibnitz :
En choisissant , on obtient :
Þ


Soit : à : taux de vide local de la phase



* Forme Limite du théorème d’Ostrogradski (Gauss) : Pour une grandeur vectorielle ou un tenseur , le théorème de Gauss s’écrit pour la phase :
à grandeur vectorielle (=) ou tensorielle (=) représentant la phase :

avec :
à Si :

Soit :



3.2. Moyennes simples des équations dans le temps :

* Définition de la moyenne pondérée : Considérons la fonction indicatrice de phase qui est définie par :

à fonction indicatrice de phase
Le taux de vide local est défini par :
à taux de présence de la phase k
Þ Moyenne temporelle de ( fonction indicatrice de phase et discontinue) :
à
Dans cette moyenne temporelle, la grandeur moyennée est pondérée par la fonction indicatrice de phase . D’où la convention de notation " " :
* Notation de la moyenne pondérée à
* Fonction à pondérée par la fonction indicatrice de phase



* Application à l’écriture des équations de bilans (équation généralisée)

- Équation généralisée des bilans : Þ


- Forme limite du théorème de GAUSS : Þ
Soit :


ou encore :
On pose :
Þ
avec : et est la interface passant par durant la durée



4. ÉQUATIONS DOUBLEMENT MOYENNÉES Une équation doublement moyennée est une équation qui est moyennée à la fois dans l’espace et dans le temps. À partir de la définition de la moyenne temporelle () d’une fonction , on peut établir la moyenne de cette moyenne temporelle dans la section totale d’une conduite donnée. On désigne cette double moyenne par la notation suivante :
Þ


- Moyennes doubles à Moyennes effectuées à la fois dans l’espace et le temps

- Espace à section droite de la conduite - Temps à
- à moyenne double de la fonction
C’est à dire :
Þ
Si : à distribution temporelle discontinue de la phase k
Þ
où :


Ce cas est illustré par la figure ci-dessous.







4.1. Bilan de masse :

La moyenne surfacique de l’équation phasique locale est :

à Moyenne surfacique de l’équation locale :


à Moyenne surfacique de l’équation locale :
* Équations phasique et diphasique :
Comme , les équations phasique et diphasique deviennent alors :
Þ



4.2. Bilan de quantité de mouvement :

De la même manière que le bilan de masse, on peut écrire pour la quantité de mouvement :

* Équation phasique Þ
* Équation diphasique Þ Sommation sur à deux phases :
Þ Somme nulle des intégrales sur l’interface



4.3. Bilan d’énergie totale (1^er Principe) :

* Équation phasique Þ
avec : à l’enthalpie de la phase
* Équation diphasique Þ Sommation sur à deux phases :
Þ Somme nulle des intégrales sur l’interface



4.4. Évolution de l’entropie (Second Principe de la Thermodynamique) :

* Équation phasique Þ
* Équation diphasique Þ Sommation sur à deux phases :
Þ Intégrales sur l’interface à entropie interfaciale
Þ



4.5. Utilisation pratique des moyennes doubles : Soient et deux fonctions dépendantes de l’espace et du temps. Les moyennes dans l’espace et le temps ensuite dans le temps du produit s’écrivent :



Faute de mieux, et par souci de simplification, on fait habituellement l’hypothèse suivante :


Cette hypothèse est très grossière, mais on espère que les erreurs introduites à ce niveau seront compensées par des choix judicieux au niveau des lois constitutives.

Dans le cas général, certaines hypothèses simplificatrices des ces équations diphasiques sont rajoutées :

• les équations d’état qui sont valables pour les grandeurs locales s’appliquent aussi aux grandeurs moyennées,
  
• les termes de conduction longitudinale dans chaque phase, ainsi que leurs dérivées sont négligeables,
  
• les dérivées des tensions visqueuses phasiques et des puissances de ces tensions sont négligeables,
  
• la pression reste constante dans une section droite.
  

En résumé, on a :
* et Þ fonctions dépendantes du temps et de l’espace
* Moyennes du produit Þ
* Hypothèse (très grossière) Þ On prend :


Þ Les erreurs pouvent être compensées par un bon choix des lois constitutives

* Autres hypothèses :

- Équations d’états valables pour les grandeurs localesÞ valables aussi pour les grandeurs moyennes

- Termes de conduction et leurs dérivées dans chaque phase Þ négligés

- Puissances et dérivées des tensions visqueuses phasiques Þ négligées - Pression dans chaque section droite Þ constante



4.5.1. Bilan de masse : à Équations phasique et diphasique : Þ


4.5.2. Bilan de quantité de mouvement :

Dans le bilan de quantité de mouvement, les termes relatifs au transport de masse et à la tension superficielle sont négligés. Dans ce cas, l'équation diphasique se réduit à : Þ


4.5.3. Bilan d’énergie totale :

Ce bilan diphasique s’écrit sous la forme suivante, compte tenu des précédentes hypothèses :





4.5.4. Évolution de l’entropie (Inégalité entropique) : L’inégalité de Clausius Duhem (inéquation diphasique) s’écrit sous la forme suivante, compte tenu des précédentes hypothèses (Entropie interfaciale Þ négligée) :
Þ