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Chapitre III
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIPHASIQUES : ÉCRITURES LOCALES

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Plan

1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
1.1. Dérivée particulaire d’une grandeur
1.2. Théorème de transport de Reynolds
2. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT MONOPHASIQUE
2.1. Bilan de masse
2.2. Bilan de quantité de mouvement
2.3. Bilan d’énergie totale
2.4. Évolution de l’entropie
2.5. Écriture locale des bilans
2.5.1. Bilan de masse
2.5.2. Bilan de quantité de mouvement
2.5.3. Bilan d'énergie totale
2.5.4. Évolution de l'entropie
3. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT DIPHASIQUE
3.1. Écriture locale
3.1.1 Bilan de masse
3.1.2. Bilan de quantité de mouvement
3.1.3. Bilan d’énergie totale
3.1.4. Évolution de l’entropie
3.1.5. Écriture locale des bilans
3.2. Forme généralisée des équations locales de bilans

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1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Pour établir les équations locales des systèmes diphasiques, nous avons besoin de connaître un certains nombre d’outils mathématiques.



1.1. Dérivée Particulaire : Par définition, la dérivée particulaire est la dérivée par rapport au temps d’une grandeur liée à une particule. La grandeur est dans le cas général de nature tensorielle. Cette dérivée est notée le plus souvent par :
Dans le cas d’une grandeur scalaire , cette dérivée particulaire s’obtient immédiatement par application du théorème de dérivation des fonctions composées :


si g est une grandeur scalaire, alors :
où on note ici :
où est un point matériel de coordonnées et est une base canonique de repère orthonormé .
Pour une grandeur vectorielle , il suffit d’appliquer le résultat précédent pour chaque composante (en adoptant la convention d’Einstein)
* : grandeur vectorielle Þ où :
à : tenseur d’ordre 3
à
* : grandeur tensorielle Þ où :
à : tenseur d’ordre 3
à



1.2. Théorème de transport de Reynolds : Soit une fonction à plusieurs variables représentant une surface en déplacement dans l’espace et dans le temps.
Cette fonction sous la forme d’une équation :
La différentielle de par rapport au temps s’écrit :
* f : fonction à plusieurs variables x₁, x₂, x₃ et t à à
* Différentielle de f à
avec : à


* v et v₀ : volumes de contrôle à l’instant t et t₀

* J : Déterminant de la matrice Jacobienne de la transformation de dv en dv₀ Þ à
Þ


* On admet que : à : vitesse de déplacement d’un point matériel M


D’où :




Soit :



* Théorème d’Ostrogradski (Théorème de Gauss) :

Þ Transformation d’une intégrale de volume (v) en une intégrale de surface fermée (S)

à f : fonction à plusieurs variables : Þ
à : normale à la surface fermée S :
à : vitesse de déplacement de la surface fermée S


* Le théorème d’Ostrogradski donne pour : - une fonction scalaire Þ (1)
- une grandeur vectorielle Þ (2)
- une grandeur tensorielle Þ (3)
(1), (2) et (3) constituent le Théorème de transport de Reynolds



2. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT MONOPHASIQUE

Objectif du Théorème de transport de Reynolds àcalcul des bilans globaux

Bilans globaux Þ Principes physiques de la conservation ou d’évolution

à Conservation de la masse Þ Continuité

à Conservation de la quantité de mouvement Þ Principe Fond. Dynamique

à Conservation de l’énergie totale Þ 1^er Principe de la Thermo.

à Evolution de l’entropie Þ 2^nd Principe de la Thermo. Bilans appliqués à des volumes de contrôle (v) constitués à chaque instant
par les mêmes éléments de matière.


Frontière de chaque volume de contrôle (v) :

Þ imperméable à la matière

Þ peut passer la quantité de mouvement sous forme de contraintes Þ peut passer l’énergie sous forme de flux de chaleur



2.1. Bilan de masse :

àThéorème de transport de Reynolds Þf = r àmasse volumique du fluide àConservation de la masse Þ




2.2. Bilan de quantité de mouvement :

à v : volume de contrôle de surface fermée à M : point matériel de (v) à l’instant t Þ à2 types d’écritures

où :
* à densité massique des forces extérieures exercées au point
* à tenseur de contraintes en un point P :
* à normale à une facette contenant le point P
Þ Principe Fondamental de la Dynamique



2.3. Bilan d’énergie totale (1^er Principe de la thermodynamique) :
où :
* à vitesse de déplacement d’un point matériel M du volume de contrôle (v)
* à masse volumique du fluide
* à dépend du gradient de température :
Þ Loi (linéaire) de Fourier :
- à conductivité thermique du milieu (fluide)
- à énergie interne du système



2.4. Évolution de l’entropie (2^nd Principe de la thermodynamique) :

à Inégalité de Clausius Duhem


où : * à température
* à flux de chaleur
* à entropie du système
* à entropie créée par le système



2.5. Écriture locale des bilans :

2.5.1. Bilan de masse :
à équation de continuité



2.5.2. Bilan de quantité de mouvement :

* Quantité de mouvement linéaire :

à : composantes du tenseur de contraintes



* Quantité de mouvement angulaire :

Þ
à Tenseur symétrique



2.5.3. Bilan d’énergie totale (1^er Principe) :
Þ : divergence



2.5.4. Évolution de l’entropie (2^nd Principe) :
Þ : divergence



3. APPLICATION A L’ÉCOULEMENT DIPHASIQUE

En écoulements diphasiques, on utilise la même procédure que précédemment à laquelle on rajoute les conditions d’interfaces des phases pour établir les équations des bilans globaux et locaux.

À partir de l’écriture globale des bilans, le théorème de transport de Reynolds (Leibnitz) ainsi que le théorème de Gauss (Ostrogradski) permettent l’obtention des équations locales contenues dans l’intégrale de volume. Quant aux équations locales contenues dans l’intégrale de surface, elle sont obtenues grâce aux conditions d’interface sur les grandeurs locales appartenant à chaque phase de part et d’autre de chaque interface.

3.1. Écriture locale des bilans :

Considérons le volume matériel représenté par la figure ci-dessous.
à volume total de contrôle
: de surface fermée (sans compter )
: de surface (sans compter )


Hypothèses: - Pas d’échange de masse sur les surfaces en contact et
- : interface perméable à échange de masse entre et au travers cette interface
- à



3.1.1. Bilan de masse :


avec :


Þ
Pour les deux phases liquide et gaz, on a :


Pour chaque phase, il y a conservation : Þ


C’est à dire : ou
où débit massique de la phase


Remarque :

Pas de glissement entre les phases Þ Pas de transfert de masse entre les phases Þ



3.1.2. Bilan de quantité de mouvement :

* Quantité de mouvement linéaire :
à tenseur de contraintes de la phase
Pour les deux phases liquide et gaz Þ


* Quantité de mouvement angulaire : Þ
à transposé du tenseur de contraintes de la phase



3.1.3. Bilan d’énergie totale :
Þ


3.1.4. Evolution de l’entropie :
avec :
Conditions d’interface Þ
à entropie générée par les conditions de l’interface



3.1.5. Cas particuliers : application du bilan de quantité de mouvement : * Écoulement bidimensionnel avec tension superficielle




Compte tenu de la tension superficielle l’équation du mouvement s’écrit :


où : à tension superficielle de la phase liquide
à abscisse curviligne
à rayon de courbure de l’interface au point M
à effets mécaniques du gradient de Þ Effet Marangoni
à Pas de transfert de masse entre les phases (1) et (2)Þ
Þ
à Si (1) et (2)sont des fluides non visqueux Þ
Þ
à ce qui n’est pas toujours vrai ou le cas général
avec : vecteurs unitaires
Þ Hypothèse de fluides non visqueux est incompatible avec présence de gradient de
à Si (1) et (2)sont des fluides non visqueux et Þ


* Écoulement unidimensionnel sans tension superficielle

Équation du mouvement + conditions de l’interface : Þ


à Si (1) et (2)sont des fluides non visqueux Þ avec :


Si pas de transfert de masse entre les phases Þ Pas de glissement possible entre phases

à Si (1) et (2)sont des fluides visqueux
Þ
à Bilan de masse sur chaque phase k :
à Phases iso – volumes () :
à Écoulement unidirectionnel : à
Þ
Or, on a :
C’est à dire :
Þ
Soit :

avec :
Þ à
à r₂ << r ₁ à basse pression Þ
Soit :



3.2. Forme généralisée des équations locales de bilans : * Équations locales Þ
* Conditions d’interface Þ